一. 杆件幕墙设计计算

1.立柱

JGJ102-2003第6.3.6规定：应根据立柱的实际支承条件，分别按单跨梁、双跨梁或多跨铰接梁计算由风荷载或地震作用产生的弯距，并按其支承条件计算立柱的轴向力。

单跨梁(简支梁）

幕墙立柱每层用一处连接件与主体结构连接，每层立柱在连接处向上悬挑一段，上一层立柱下端用插芯连接支承在此悬挑端上，计算时取简支梁计算简图是对结构作了简化，假定立柱是以连接件为支座的单跨梁(也可以认为是以楼层高度为跨度的简支梁)，这样按简支梁计算弯距与剪力。而实际上每层只有一个支座(即相邻两跨共用一个支座)，由于简支梁跨中弯距最大，而跨中剪力为零，而支座剪力最大，弯距为零，弯距控制截面无剪力，剪力控制截面无弯距，只分别按弯距效应和剪力效应进行验算。但在验算立柱与主体结构连接时不能用简支梁两支座中一个反力进行计算，而应取两支座反力之和(一跨只有一个连接点)。

简支梁计算：

材料截面设计最大正应力值 σ=N/A0+M/1.05W≤fa(fS) (5-7)

式中：σ—材料截面设计最大正应力值;

N—轴力(N);

A0—构件净截面积(mm2);

M—弯距(N.mm);

W—截面抵抗矩(mm3);

fa(fS)—铝型材(钢材)强度设计值(N/mm2)。

轴力 N=G L B (5-8)

式中：G—幕墙单位面积自重(N/mm2);

L—跨度(m);

B—分格宽度(m);

弯距 M= MW+0.5ME (5-9)

风荷载产生的弯距 MW= qW L2/8 (5-10a)

水平地震作用产生的弯距 ME= qE线L2/8 (5-10b)

or 弯距M=( qW+0.5qE线)L2/8 (5-11)

风荷载线荷载设计值 qW=W.B (5-12a)

地震作用线荷载设计值 qE线= qE(面)B (5-12b)

式中：MW—风荷载产生的弯距设计值(N.mm);

ME—水平地震作用产生的弯距设计值(N.mm);

qW—风荷载线荷载设计值(N/m);

qE线—地震作用线荷载设计值(N/m)。

挠度 u=5qWKL4/384EI≤20mm (5-13)

相对挠度 u/L≤1/180 (5-14)

型材最小惯矩 I=5qWKL3/384E(1/180) (5-15a)

型材最小惯矩 I=5qWK L4/384E≤20mm (5-15b)

型材最小截面抵 W=( MW+0.5ME)/1.05fa(fS) (5-16)

式中：u—挠度(mm);

qWK—风荷载线荷载标准值(N/mm2);

L—跨度(mm);

E—弹性模量(N/mm2);

I—惯矩(mm3)

W—截面抵抗矩(mm3);

fa(S)—铝合金型材(钢材)强度设计值。

采用自上而下安装顺序布置杆件的立柱，按压弯构件验算稳定强度。

材料截面设计最大正应力值 σ=N/ΦA0+M/γW(1-0.8N/NE)≤fa(fS) (5-17a)

NE=π2EA/1.1λ2 (5-18b)

迥转半径 i=(I/A)1/2 (5-19a)

轴心受压构件的长细比 λ=L/i (5-19b)

式中：Φ—整体稳定系数见表5-2;

i——迥转半径(mm)

λ——轴心受压构件的长细比。

立挺抗剪验算采用SW+0.5SE组合.

剪力设计值 V=VW+0.5VE (5-20a)

风荷载产生的剪力设计值 VW=qWL/2 (5-20b)

水平地震作用产生的剪力设计值 VE=qEL/2 (5-20c)

或 剪力设计值 V=(qW+0.5qE)L/2 (5-20d)

材料截面设计最大剪应力 τ=VSS/It≤fV (5-21)

式中：V—剪力设计值(N);

VW—风荷载产生的剪力设计值(N);

VE—水平地震作用产生的剪力设计值(N);

τ—材料截面设计最大剪应力(N/mm);

SS—验算截面形心轴以上面积对形心轴面积矩(mm3);

fV—材料抗剪强度设计值(N/mm2);

t —验算截面材料厚度(mm);

例5-1.南京市一建筑，层高3.2m，建筑幕墙高257.7m， 抗震7度设防，设计基本地震加速度0.10g，分格宽1m，选用墙角区立柱截面。

解：高度变化系数 μZC=0.616×(257.7/10)0.44=2.564 脉动系数μfC=0.734×(257.7/10)-0.22=0.3597

阵风系数 βgz=0.85×(1+2×0.3597)=1.461

风荷载标准值 WK=1.461×2.564×2×400=3000 N/m2

风荷载设计值 W=1.4WK=1.4×3000=4200N/m2

风荷载线荷载设计值 qW=B×W=1×4200=4200N/m=4.2N/mm

风荷载产生的弯距 MW=qW×L2/8=4.2×32002/8=5376000N·mm

自重标准值 GAK=400N/m2×1×3.2=1280N

自重设计值 N=1.2 NK=1.2×1280=1536N

地震作用标准值 qEK=ΒE×αmax×GAK=5×0.08×400=160 N/m2

地震作用设计值 qE面=1.3×qEK =1.3×160=208 N/m2

地震作用线荷载设计值 qE线=B×qE面=1×208=208 N/m=0.208 N/mm

水平地震作用产生的弯距 ME= qE线×L2/8=0.208×32002/8=266240 N·mm

弯距组合值 M=MW+0.5ME=5376000+0.5×266240=5509120 N·mm

型材最小截面抵抗矩 W=M/(1.05fa-N/A0)=5509120/(1.05×85.5)=61366mm3

型材最小惯矩 I=5qWL3 /[384E(1/180)]

= 5×3×32003/[384×0.7×105×(1/180)]=3291429mm4

型材最小惯矩 I=5 qWL4/(384E×20)

=5×3×32004/(384×0.7×105×20)=2925714mm4

要选用W≥61366mm3、I≥3291429mm4的型材。

例5-2.北京市中心一幕墙立柱高160.5m，层高3.3m，8度设防，设计基本地震加速度0.20g.，立柱：A=1800mm2，A0=1600mm2，IX=4200000mm4，WX1=54000mm3，WX2=49000mm3，SS=35000mm3，t=4mm，立柱左侧分格宽1500mm，右侧分格宽1200mm，采取自下而上安装程序布置杆件，验算强度、挠度、抗剪强度。

解：高度变化系数 μZD=0.318×(160.5/10)0.6=1.682 脉动系数μfD=1.2248×(160.5/10)-0.3=0.5326

阵风系数 βgz=.080×(1+2×0.5326)=1.652

风荷载标准值 WK=1.652×1.682×1.2×450=1500N/m2

风荷载设计值 W=1.4WK=1.4×1500=2100N/m2

风荷载线荷载设计值 qW=W ×(B1+B2)/2=2100×(1.2+1.5)/2=2835N/m=2.835N/mm

地震作用标准值 qEK=βE×αmax×GAK =5×10.16×400=320N/m2

地震作用设计值 qE面=1.3× qEK=1.3×320=416N/m2

地震作用线荷载设计值 qE线= qE面×(B1+B2)/2=416×(1.2+1.5)/2=561.6N/m=0.5616N/mm

风荷载产生的弯距 MW= qW×L2/8=2.835×33002/8=3859144 N·mm

水平地震作用产生的弯距 ME= qE线×L2/8=0.5616×33002/8=764478N·mm

先进行SW+0.5SE组合

弯距组合值 M=MW+0.5ME=3859144+0.5×764478=4241383N·mm

自重标准值 NK=GAK ×(B1+B2)/2×L=400×(1.2+1.5)/2×3.3=1782N

自重设计值 N=1.2 NK=1.2×1782=2138N

采用SG+SW+0.5SE组合

型材截面设计最大正应力值σ=N/A0+M/(1.05W)=2138/1500+4241383/(1.05×49000)

=83.86N/mm2<85.5 N/mm2

风荷载线荷载标准值 qWK= WK×(B1+B2)/2=5500×(1.2+1.5)/2=2025N/m=2.025N/mm

挠度验算采用SW

挠度 u=5qwkL4/384EI=5×2.025×33004/384×0.7×105×4200000

=11.77mm<20mm

相对挠度 u/L=11.77/3300=1/280<1/180

抗剪验算采用SW+0.5SE组合

风荷载产生的剪力 VW= qWL/2=2385×3.3/2=4678N

水平地震作用产生的剪力 VE= qE线L/2=561.6×3.3/2=927N

剪力组合值 V=VW+ 0.5VE= 4678+0.5×927=5142N

型材截面设计最大剪应力值 τ= V×SS/I×t=5142×35000/4200000×4=10.97N/mm2<49.6 N/mm2

例5-3. 上例改为自上而下安装顺序布置杆件，按压弯构件验算。

迥转半径 i=(4200000/1800)1/2=48.3 构件的长细比λ=L/i=3300/48.3=68

整体稳定系数 φ=0.762

型材截面设计最大正应力值 σ=N/ΦA0+M/γW(1-0.8N/NE)

=2138/(0.762×1500)+4241383/1.05×49000×[1-0.8×2138/(3.141592×0.7×105×1500/1.1×682)]

=84.3N/mm2<85.5 N/mm2

单元式幕墙由于竖框为组合框，对插的两竖框不可能同时伸缩验算时要分别验算，即取每根竖框承受单元组件一半的荷载(作用)计算，其中W值小者起控制作用。

B.双跨梁(L=L1+L2，L1

幕墙立柱每层有两处连接件与主体结构连接，每层立柱在楼层处连接点向上悬挑一段，上一跨立柱下端用插芯连接支承此悬挑端上，计算时取双跨梁计算简图是对结构作了简化，假定立柱是以楼层处连接点为端支座，梁底连接点为中间支座的双跨梁，共三个支座，实际上每层只有两个支座(上一跨的C支座与A支座共用一个连接点)。双跨梁中间(B)支座有负弯距，两跨各有跨中弯距，其中中间(B)支座负弯距起控制作用，三个支座均有剪力，其中B以座+(-)剪力中有一个最大，起控制作用，由于B支座同时有剪力和弯距，除分别验算弯曲效应和剪切效应外，还需验算弯距与剪力同时作用下的折算应力。在对立柱与主柱结构连接验算时，B支座反力起控制作用。由于实际上A支座与C支座的反力都是通过A支座传给主体结构的，如果用A支座水平作用进行连接验算，水平作用应取A支座与C支座反力之和。

双跨梁计算：

B支座弯距 Mb =-[q(L13+L23)/8L] (5-22a)

or Mb = -{q L22/8×[(n2-n+1)/n2] } (5-22b)

长跨跨中弯距 M2 =qL22/2×(1/2+Mb/ qL22)2 (5-23)

A支座反力 Ra= qL1/2+Mb/L1 (5-24a)

B支座反力 Rb= qL1/2-Mb/L1 +qL2/2-Mb/ L2= qL/2-Mb/L1-Mb/ L2 (5-24b)

C支座反力 Rc=qL2/2+Mb/L2 (5-24c)

B支座剪力 Vb左= -(qL1/2-Mb/L1) (5-25a)

Vb右=(qL2/2-Mb/L2) (5-25b)

型材截面设计最大正应力值 σb=N/A0+Mb/(1.05W)≤fa(fS) (5-26a)

型材截面设计最大剪应力值 τb= Vb×SS/I×t≤fV (5-26b)

折算应力 σzs=(σb2+3τb2)1/2≤1.1fa(fS) (5-26c)

长跨挠度 u2=μqwkL24/EI (5-27a)

挠度计算系数 α=4Mb/qL22 (5-27b)

验算立柱连接时，水平作用产生的拉力取B支座反力( Rb )或A支座反力( Ra )与 C支座反力( Rc )之和。

B.铰接多跨梁

a.单支点铰接多跨梁(多跨静定梁)(图5-4)(其支承条件和图5-2一样，只是取不同计算简图)

幕墙立柱每层用一处连接件与主体结构连接，每层立柱在连接处向上悬挑一段，上一层立柱下端用插芯连接支承在此悬挑端上，实际上是一段段带悬挑的简支梁用铰连接成多跨梁，这种多跨静定梁计算简图要比取单跨简支梁与实际支承情况更为接近。由于上一跨梁B端以下一跨悬挑端(C点)作支座，上一跨B支座反力就是作用在下一跨C点的集中力，每层梁除作用有均布荷载外，除第一跨起始梁外，悬挑端(C点)还作用一集中力，这样在进行内力分析时，要从起始梁(第一跨)开始，才能逐步顺畅计算。第一跨梁A支座有由悬挑端均布荷载产生支座弯矩，简支段的正弯矩最大值不在弯中，第二跨开始还有C端第一跨B支座反力产生A支座负弯矩，由于第一跨B支座反力比其它跨(等跨时)大，这样第二跨A支座负弯矩比其它跨(等跨时) 大，验算立柱与主体结构连接时水平作用取q(a+L)，即B支座与A支座反力之和。

多跨静定梁计算：

当为等跨时(各跨L、a、q均相等)

第一跨B支座反力 R1B=qL1/2×[1-(a1/L1)2] (5-28)

第i跨B支座反力 RiBi=2、4、6----=R1B×[1-ai/Li -(ai/Li)i]

RiBi=3、5、7----=R1B×[1-ai/Li +(ai/Li)i] (5-29)

(ai/Li)i项，当i≥4以后，其值很微小，　RiB逼近一定值，可近似取：

第i跨B支座反力 RiBi=4、5----=R1B×[1-ai/Li] (5-30)

第i跨集中力 Pii=2、3、4----=R(i-1)B (5-31)

P2>P3、P3

等跨多跨静定梁需验算三个控制截面：

(1)第一跨跨中弯距 M1=qL12/8×[1-(ai/Li)]2 (5-32)

第一跨B支座剪力 V1B=R1B= qL1/2×[1-(a1/L1)2] (5-33)

型材截面设计最大正应力值 σ=M1/γW+N/A0≤fa (5-34)

型材截面设计最大剪应力值 τ= V1BSs/It≤fav (5-35)

第一跨跨中挠度 U1中=5qwkL14/384EI[1-2.4(a1/L1)2] (5-36)

第二跨C支座挠度 U2c=qwka2L23/24EI×[-1+4(a2/L2)2+3(a2/L2)3]+(P2a22L2/3EI)×(1+ a2/L2) (5-37)

第一跨总挠度 U1总= U1中+ U2c/2≤20mm (5-38)

相对挠度 U1总/(L1+a2)≤1/180 (5-39)

(2) 第二跨A支座弯距 M2A= -(P2a2+qa22/2) (5-40)

第二跨A支座剪力 V2A= -[P2+ qa2/2×(2+a2/L2)];

V2A=+[P2×(a2/L2)+ qL2/2] (5-41)

型材截面设计最大正应力值 σA=M2A/γW+N/A0≤fa (5-42)

型材截面设计最大剪应力值 τA= V2ASs/It≤fav (5-43)

折算应力 σZS=(σA2+3τA2)1/2≤1.1fa (5-44)

(3) 第i跨跨中弯距 Mi= qLi2/8×[1-(ai/Li)]2-Piai×[1+(ai/Li)2]/2+ ai/Li] (5-45)

第i跨跨中剪力 Vi中=+P i (ai/Li) (5-46)

型材截面设计最大正应力值 σ中=Mi/γW+N/A0≤fa (5-47)

型材截面设计最大剪应力值 τ中= Vi中Ss/It≤fav (5-48)

折算应力 σZS=(σ中2中+3τ中2)1/2≤1.1fa (5-49)

第i跨跨中挠度 Ui中=5qwk/Li4/384EI-qwka2iL2i / 32EI-Pi aiL2i / 16EI (5-50)

第(i+1)跨C支座挠度 U(i+1)c=qwkaiLi3/24EI×[-1+4(ai/Li)2+3(ai/Li)3]+(Piai2Li/3EI)×(1+ ai/Li) (5-51)

第一跨总挠度 Ui总= Ui中+ U(i+1)c/2≤20mm (5-52)

相对挠度 Ui总/(Li+ai+1)≤1/180 (5-53)

当为不等跨时[各跨Li、ai、(qi)三项不等,或Li、ai、(qi)中有一(二)项不等时],要逐跨进行分析 ;

第一跨B支座反力 R1B=qL1/2[1-(a1/L2)2] (5-54)

第i跨集中力 Pii=2、3、4----=R(i-1)B (5-55)

第i跨B支座反力 R iB i=2、3、4----=qiLi/2×[1-(ai/Li)2]-Pi(ai/Li) (5-56)

第一跨跨中弯距 M1=qL12/8×[1-(a1/L1)]2 (5-57)

第一跨B支座剪力 V1B=R1B=qL1/2× [1-(a1/L1)2] (5-58)

第一跨跨中剪力 V1中=0 (5-59)

型材截面设计最大正应力值 σ=M1/γW+N/A0≤fa (5-60)

型材截面设计最大剪应力值 τ= V1A(V1B)Ss/It≤fav (5-61)

第一跨跨中挠度 U1中=5qwk1/L14/384EI[1-2.4(a1/L1)2] (5-62)

第二跨C支座挠度U2c=qwk2a2L23/24EI×[-1+4(a2/L2)2+3(a2/L2)3]+P2a22L2/3EI×(1+ a2/L2) (5-63)

第一跨总挠度 U1总= U1中+ U2c/2≤20mm (5-64)

相对挠度 U1总/(L1+a2)≤1/180 (5-65)

第i跨A支座弯距 M iA i=2、3、4----=-[Piai+qiai2/2] (5-66)

第i跨A支座剪力 ViA=-[Pi+ qiai/2×(2+ai/Li)];

ViA=+[Pi×(ai/Li)+ qiLi/2] (5-67)

型材截面设计最大应力值 σiA=MiA/γW+N/A0≤fa (5-68)

型材截面设计最大剪应力值 τiA= ViASs/It≤fav (5-69)

折算应力 σZS=(σiA2+3τiA2)1/2≤1.1fa (5-70)

第i跨跨中弯距 Mi= qLi2/8·[1-(ai/Li)]2-Piai×[1+(ai/Li)2]/2+ ai/Li] (5-71)

第i跨跨中剪力 Vi中=+P i (ai/Li) (5-72)

型材截面设计最大正应力值 σ中=Mi/γW+N/A0≤fa (5-73)

型材截面设计最大剪应力值 τ中= Vi中Ss/It≤fav (5-74)

折算应力 σZS=(σ2中+3τ2A)1/2≤1.1fa (5-75)

第i跨跨中挠度 Ui中=5qwk/Li4/384EI-qwka2iL2i / 32EI-Pi aiL2i / 16EI (5-76)

第(i+1)跨C支座挠度 U(I+1)c=qwkaiLi3/24EI×[-1+4(ai/Li)2+3(ai/Li)3]+(Piai2Li/3EI)×(1+ ai/Li) (5-77)

第i跨总挠度 Ui总= Ui中+ U(i+1)c/2≤20mm (5-78)

相对挠度 Ui总/(Li+ai+1)≤1/180 (5-79)

b.双支点铰接多跨梁(多跨铰接一次超静定梁，D(i)

幕墙立柱每层有两处连接件与主体结构连接，每层立柱在楼层处连接点向上悬挑一段，上一跨立柱下端用插芯连接支承在悬挑端上，取双支点铰接多跨梁计算简图要比取双跨梁计算简图与实际情支承情况更接近。由于上一跨B支座以一下跨悬挑端(C点)作支座，上一跨支座反力是作用在下一跨悬挑端(C点)的集中力，第一跨(起始梁)起每层梁作用有均布荷载，第二跨起每层梁在悬挑端(C点) 还有集中力，这样在内力分析时，要从起始梁(第一跨)开始，才能逐步顺畅计算。第一跨梁A支座有由悬挑端均布荷载产生的支座弯矩，D支座有D跨均布荷载产生的支座弯矩，还有A支座弯矩的影响，第二跨开始还有C端集中力产生的支座弯矩。验算立柱与主体结构连接时取D支座反力或A支座与B支座反力之和。

双支点铰接多跨梁计算：

第i跨集中力 P(i)=Rb(i-1) (5-80)

第i跨B支座反力 Rb(i)=qb(i)/2-Md(i)/B(i) (5-81)

第i跨A支座弯距 Ma(i)=-(P(i)+qA(i)2) (5-82)

第i跨D支座弯距 Md(i)=-[6×q×(B(i)3+D(i)3)/24+Ma(i)×D(i)/6]/2×[2×(B(i)+D(i))] (5-83)

第i跨长跨跨中弯距 M(i)=q×B(i)2/2×(1/2- Md(i)/qB(i)2)2 (5-84)

第i跨D支座剪力 Vd左=qD(i)/2+│Ma(i)-Md(i))│/D(i) (5-85)

Vd右= -(qB(i)/2+│Md(i)│/B(i) ) (5-86)

型材截面设计最大正应力值 σd=Md/γW+N/A0≤fa (5-87)

型材截面设计最大剪应力值 τd= VdSs/It≤fav (5-88)

折算应力 σZS=(σ2d+3τd2)1/2≤1.1fa (5-89)

第i跨跨中挠度 Ui中=(5qwk/B(i)4/384+M(d)×B(i)2/16) /EI (5-90)

第(i+1)跨B支座挠度 U(I+1)b= -(-P(i+1)×a(i+1)3-qwka(i+1)4/8+ qwkD(i+1)4/24+Ma(i+1)×D(i+1)/3

+Md(i+1)×D(i+1)/6) (5-91)

第i跨总挠度 Ui总= Ui中+ U(i+1) b /2≤20mm (5-92)

相对挠度 Ui总/(Li+ai+1)≤1/180 (5-93)

2.横梁

横梁承受水平方向的横梁上下两侧分布为三角形(梯形)面积上的风荷载、平面外平面地震作用

(图5-6)，和垂直方向的支承在横梁上的玻璃及横梁自重等自重荷载。这样横梁为双向受弯构件，按式(5-95)验算正应力，按式(5-96)验算剪应力。横梁上自重按式(5-97)计算弯矩，横梁上风荷载为三角形分布时按式(5-98)计算弯矩，按式(5-99)计算剪力;当为梯形分布时按式(5-100)计算弯矩，按式(5-101)计算剪力。

横梁强度验算取SG+Sw+0.5SE组合

型材截面设计最大正应力值 σ=M/1.05WX+MYW/1.05WY+0.5MYE/1.05WY≤fa(5-95)

型材截面设计最大剪应力值 τ=VSS/It (5-96)

由永久荷载(自重)产生的弯矩 MX =qB2/8 (5-97)

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